立体拼合、截面图、三视图
立体拼合、截面图、三视图
公考笔试

01

“立体拼合”实用技巧

1.题型判定

提问:题干中完整图形是由残缺图形与哪个选项共同构成?

题干:给出一个完整图形及几个残缺图形(如下图所示)。

2.解题思路

凹凸一致,有凹必有凸,有凸必有凹。具体要考虑两个方面:

(1)凹进去的部分与凸出来的部分形状相同,如上图中图2与图3可拼合为图1。

(2)凹进去的部分与凸出来的部分对应长度相同。

粉笔小贴士:

    立体拼合题目可以先观察题干和选项的“凹凸”部分的形状,通常情况下可以排除1-2个错误选项,再对剩余选项拼合的部分进行长度上的比较

例题

(2014国考)下图中的立体图形①是由立体图形②、③和④组合而成,下列哪一项能够填入问号处:

【题型判定】通过问题可判定本题考察立体拼合,即题干图①由图②、③、④拼合而来。

【题目分析】立体拼合的解题原则为凹凸一致。观察图1,发现拼合而成的图形中不存在尖头凸起;观察图2,存在一个尖头凸起。因此,必须存在一个凹进去的尖头形状,与图2拼合在一起。观察选项发现,A和C项均存在尖头凸起,D项无尖头凹进去的形状,只有B项满足要求。

粉笔小贴士:

立体拼合题目无需观察整体是否可以拼合,只需观察图形特殊的“凹凸”的部分,同时要多利用排除法做题。

例题

(2019山东)下图所示的多面体为20个一样的小正方体组合而成,问①、②和以下哪个多面体可以组合成该多面体?

【题型判定】通过问题可直接判断题型为立体拼合,即图①②和选项拼合成左侧图形。

【题目分析】观察图①,右上角缺少了一块正方体,且左边突出来两个正方体,故可确定图①在多面体中的位置如下图所示:

观察图②,上面一排正方体中间少了一块正方体,故可确定图②在多面体中的位置如下图所示:

因此,需要补充的图形如下图所示:

故正确答案为A。

粉笔小贴士:

1.小方块立体拼合的题目近年来频繁出现,是命题的趋势,如果选项小方块数量不同,可先根据小方块的数量进行排除。

2.当选项图形与题干残缺图形无法满足“凹凸一致”的原则时,可尝试将题干图形或选项图形进行简单的旋转与翻转,再利用“凹凸一致”原则进行验证。

02

“截面图”必会技巧

1.题型判定:

提问:题干中给出一个立体图形,问哪项能够(或不能)成为其截面。

题干:给出一个立体图形,通常会具体描述立体图形的形状。

例:一立方体如图所示从中挖掉一个圆锥体,然后从任意面剖开,下面哪一项不可能是该立方体的截面:

截面图-指的是被切部分的形状。

剖视图-假想用一个剖切平面将物体剖开,移去介于观察者和剖切平面之间的部分,对于剩余部分向投影面所做的正投影图。

粉笔小贴士:

截面图与剖面图的区别要重点掌握,大多的考试题目考查的都是截面图,剖面图常作为迷惑项出现。

2.解题思维

(1)解题原则:一刀切。①一刀切到底;②不能拐弯。

(2)常见立体图形截面(以最常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形为例)

截面图给出的立体图形一般是基础图形的组合(如立方体+圆锥),因此掌握常见立体图形的截面是做题的基础。

①六面体

a.矩形(拦腰切、上下切、斜切)

b.梯形(斜切)

c.三角形(从棱上的某一点开始斜着切到面)

需要注意,六面体只能切出锐角三角形,无法切出直角、钝角三角形。

②圆柱

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.矩形(竖切)

③圆锥

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.三角形(竖切过顶点)

④圆台

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.梯形(竖切)

粉笔小贴士:

1.题目中选项图形的切割方向主要集中在横切、竖切和斜切上,因此要掌握基础图形沿这三种方向所切出的图形形状。

2.圆柱、圆锥、圆台横着切均是“圆”,斜着切均是“椭圆”。需要特别注意的是圆柱从上向下斜着切两侧是曲线,而不是直线。

例题

(2017河南)左图是给定的立体图形,将其从任一面剖开,下面哪一项不可能是该立体图形的截面?

【题型判定】通过问题可以判断本题考查截面图,要求选出的是不可能成为截面的选项。

【题目分析】逐一分析选项。

A项:在图形前面的L形部分,竖直向下可以切出,如图1所示;

B项:在图形一角斜着从棱切到面(六面体沿棱斜切出三角形),可以切出,如图2所示;

C项:图形可看成两个六面体的拼合,六面体无法切出直角三角形,无法切出,当选;

D项:在图形的一角斜着从面切到面(六面体斜切出梯形),可以切出,如图3所示。

例题

(2017联考)如图所示,立方体上叠加圆柱体再打通一个圆柱孔,然后从任意面剖开,下面哪一项不可能是该立体的截面?

【题型判定】通过问题可以判断本题考察截面图,要求选出的是不可能成为截面的选项。

【题目分析】逐一分析选项。

A项:图形下方为六面体,一定可以切出矩形(从上往下竖切),如下图1所示,排除;

B项:图形下方的立方体上横切、斜切都无法得出此形状,竖切应是完整矩形;上方的圆柱体,从上往下竖切,可得到矩形截面,但一刀切到底,截面两侧应有2个“凸起”部分,而且大圆柱体内部“打通一个圆柱孔”说明“圆柱孔”中间部分应无线,无法切出,当选;

C项:上方圆柱部分横切,可以切出两个同心圆,如图2所示,排除;

D项:图形下方为六面体,一定可以切出矩形(斜切),如下图3所示,排除。

粉笔小贴士:

1.截面题题目问题多要求选择“不可能”的截面选项;

2.当整体无法判断图形的截面图时,可分解成基础图形进行判断,如例1可以分解成两个长方体,例2可以分解为一个正方体和两个圆柱体;

3.熟练掌握常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形的各种截面形状。

03

“三视图”做题思路

1.题型判定:

提问:从所给四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定规律性:

题干:给出立体图形以及它的三个三视图(如下图所示)。

立体图形的三视图分为主视图(从正面看)、俯视图(从头顶向下看)以及左视图(从左侧看),如下图所示:

上图中,图(1)为左视图,图(2)为主视图,图(3)为俯视图。

粉笔小贴士:

三视图题目的提问方法虽然与图形推理中平面规律的提问方法相同,但题干图形的特征较为明显,通常会出现一个立体图形和两个三视图,且题型多为两组图形式。

实际做题中,出题人不一定会严格按照左视、俯视、主视的角度来考查,可能出现右视图(从右向左)和仰视图(从下向上)等,要具体情况具体分析。

2.解题思维

(1)所有的三视图都是平面图。若选项中出现立体图形,则一定错误。

(2)原图有线就有线,原图没线就没线。

如上图所示,图1和图2都是从立体图形从左前方往右后方观察的,立体图形上方内部明显无横线,所以三视图也应无横线,图1正确,图2错误。

(3)当被遮挡住时,看不见被遮挡部分。

如上图所示,图1、图2以及图3都是从立体图形左前方往右后方观察的,需要分两种情况进行讨论:①若只有图1和图2,得出的应是图1,因为后面的矩形应被前方的图形遮挡,被遮挡的部分应用虚线表示;②若只有图2和图3这,得出的应是图3,被遮挡的部分用虚线表示最严谨,若没有用虚线表示,则遮挡的部分应不画出来。

(4)有些角度下弧会被压平。

如上图所示,图1是圆柱体的俯视图,图2是圆柱体的主视图、左视图以及右视图。

粉笔小贴士:

三视图中被遮挡的部分是否应画虚线,需要从题干已知图形进行判断,与题干已知图形保持一致即可。

当立体图形出现曲线时,要注意当观察角度(视线的方向)与曲线在同一水平线时,则观察到的应是直线。

例题

(2019联考)从所给四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性:

【题型判定】本题为两组图形式,题干第一组第一个图形是立体图形,第二个图形和第三个图形是它的主视图和俯视图。

【题目分析】第二组应用与第一组相同或相似的规律,?处图形应为第二组第一个立体图形的俯视图。从上往下看,可以看到两个小圆和一个矩形面,只有C项符合。

例题

(2019河北)下面三个三视图依次与三个几何体相对应,三个几何体的正确对应顺序是:

A.②①③                    B.②③①
C.①③②                    D.③①②

【题型判定】通过题目问题可直接判定本题考查三视图。

【题目分析】三视图分别是三个立体图形的主视图、俯视图和左视图。只有立体图形①的俯视图能看到一个“凸”字形面和左右两个小矩形,故图①对应的是第二个三视图,排除C、D两项;立体图形②上下相同,其正视图也应该是上下长得一样,对应的是三视图的第一个,排除B项;验证A选项,立体图形③的俯视图应该有一个长矩形和两个竖着的矩形,可与三视图的第三个相对应,A当选。

粉笔小贴士:

本题考查三视图的形式较为新颖,一道题目中涉及到了三个立体图形的主视图、左视图以及俯视图,实际做题时无需一一验证,可利用排除法加快做题速度。

总结:立体拼合、截面图与三视图三种题型的考试内容相对固定,立体拼合题目要遵循“凹凸一致”的解题原则,遇到小方块的拼合题目,当选项小方块数不同时,优先考虑小方块数;截面图除了要掌握截面图与剖面的区别,更要掌握“一刀切”的解题原则,最重要的是常见基础图形的截面形状,即使是难题也可以转换成基础图形再去研究;三视图要了解解题的思路,尤其是立体图形出现遮挡和去曲线时,要注意细节的判断。


最后,希望同学们能通过学习,掌握好立体拼合、截面图以及三视图的做题方法和技巧,在备考过程中不断练习,攻克难点,在考场中顺利得分!



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